בתחום המידע הקוונטי, הרעיון של מצבים קוונטיים והמשרעות הנלוות להם הוא יסוד. כדי להתמודד עם השאלה האם המשרעת של מצב קוונטי חייבת להיות מספר ממשי, הכרחי לשקול את הפורמליזם המתמטי של מכניקת הקוונטים ואת העקרונות השולטים במצבי קוואנטים.
מכניקת הקוונטים מייצגת את המצב של מערכת קוונטית באמצעות אובייקט מתמטי המכונה פונקציית גל או וקטור מצב, מסומן בדרך כלל על ידי (psi) (psi) או (ket{psi}) בסימון דיראק. וקטור מצב זה שוכן במרחב וקטור מורכב הנקרא מרחב הילברט. האלמנטים של מרחב זה, וקטורי המצב, הם בדרך כלל פונקציות בעלות ערך מורכב.
המשרעת של מצב קוונטי מתייחסת למקדמים המופיעים בהתרחבות וקטור המצב במונחים של בסיס נבחר. עבור מערכת קוונטית המתוארת על ידי וקטור מצב ( ket{psi} ), אם אנו מבטאים מצב זה במונחים של בסיס ( { ket{phi_i} } ), יש לנו:
[ ket{psi} = sum_i c_i ket{phi_i} ]כאן, (c_i) הן המשרעות המורכבות הקשורות למצבי הבסיס (ket{phi_i}). אמפליטודות אלו (c_i) הן, באופן כללי, מספרים מרוכבים. זוהי תוצאה ישירה של הדרישה שמרחב המוצר הפנימי יהיה שלם ויתאים לעקרונות של סופרפוזיציה קוונטית והפרעות.
האופי המורכב של האמפליטודות חשוב מכמה סיבות:
1. עקרון סופרפוזיציה: מכניקת הקוונטים מאפשרת סופרפוזיציה של מצבים. אם (ket{psi_1}) ו-(ket{psi_2}) הם שני מצבים קוונטיים חוקיים, אז כל שילוב ליניארי (אלפא ket{psi_1} + beta ket{psi_2}), כאשר (alpha) ו-(beta) הם מספרים מרוכבים, הוא גם מצב קוונטי תקף. המקדמים המורכבים (אלפא) ו-(ביתא) מייצגים את המשרעות של המצבים המתאימים בסופרפוזיציה.
2. פרשנות הסתברות: ההסתברות למדידת תוצאה מסוימת במערכת קוונטית נקבעת לפי המודול בריבוע של המשרעת. אם (c_i) היא המשרעת של מצב (ket{phi_i}), ההסתברות (P_i) למדידת המצב (ket{phi_i}) נתונה על ידי:
[ P_i = |c_i|^2 = c_i^* c_i ]כאשר (c_i^*) הוא הצמוד המורכב של (c_i). ההסתברות הזו חייבת להיות מספר ממשי בין 0 ל-1, אבל המשרעת (c_i) עצמה יכולה להיות מורכבת.
3. השפעות הפרעות: האופי המורכב של אמפליטודות חיוני לתיאור תופעות הפרעות. כאשר שני נתיבים קוונטיים או יותר מפריעים, המשרעת המתקבלת היא סכום האמפליטודות הבודדות, והפרש הפאזות בין המשרעות המורכבות הללו מוביל להתערבות בונה או הרסנית. זהו היבט בסיסי של תופעות כמו הניסוי הכפול.
4. אבולוציה יחידתית: התפתחות הזמן של מצב קוונטי נשלטת על ידי משוואת שרדינגר, המערבת את האופרטור המילטון. הפתרונות למשוואה זו הם בדרך כלל פונקציות מורכבות. האופרטורים המאוחדים שמתארים את האבולוציה משמרים את הנורמה של וקטור המצב אבל יכולים לשנות את הפאזה שלו, ובכך לדרוש שהמשרעות יהיו מורכבות.
כדי להמחיש נקודות אלה, שקול דוגמה פשוטה של קיוביט, היחידה הבסיסית של מידע קוונטי. קיוביט יכול להיות בסופרפוזיציה של מצבי הבסיס ( ket{0} ) ו- ( ket{1} ):
[ ket{psi} = אלפא קט{0} + בטא קט{1} ]כאן, ( אלפא ) ו- ( ביתא ) הם מספרים מרוכבים כך ( |alpha|^2 + |beta|^2 = 1 ). תנאי נורמליזציה זה מבטיח שההסתברות הכוללת למצוא את הקיוביט בכל מצב ( ket{0} ) או ( ket{1} ) היא 1. האופי המורכב של ( אלפא ) ו- ( ביתא ) מאפשר מבנה עשיר של מצבים קוונטיים והוא חיוני למשימות חישוב קוונטי ועיבוד מידע.
לדוגמה, קחו בחשבון את שער Hadamard, שער קוונטי בסיסי המשמש ליצירת מצבי סופרפוזיציה. כאשר מוחל על מצב הבסיס ( ket{0} ), שער המרד מייצר את המצב:
[ ket{+} = frac{1}{sqrt{2}} (ket{0} + ket{1}) ]כאן, המשרעת עבור הן ( ket{0} ) והן ( ket{1} ) היא ( frac{1}{sqrt{2}} ), שהוא מספר ממשי. עם זאת, אם נחיל את שער האמרד על המדינה ( ket{1} ), נקבל:
[ ket{-} = frac{1}{sqrt{2}} (ket{0} – ket{1}) ]במקרה זה, המשרעת עבור ( ket{1} ) היא ( -frac{1}{sqrt{2}} ), שהיא עדיין אמיתית. עם זאת, שקול שער פאזה, שמציג גורם פאזה מורכב. שער הפאזה (R(theta)) פועל על מצב קיוביט (ket{psi} = alpha ket{0} + beta ket{1}) באופן הבא:
[ R(theta) ket{psi} = alpha ket{0} + בטא e^{itheta} ket{1} ]כאן, ( e^{itheta} ) הוא מספר מרוכב עם מודול יחידה. פעולה זו מראה בבירור שהמשרעת של המצב (ket{1}) יכולה לקבל גורם פאזה מורכב, תוך שימת דגש על נחיצותן של אמפליטודות מורכבות במכניקת הקוונטים.
יתר על כן, שקול את תופעת ההסתבכות הקוונטית, שבה מצבו של חלקיק אחד קשור באופן מהותי למצבו של אחר, ללא קשר למרחק ביניהם. מצב מסובך של שני קיוביטים עשוי להיות מיוצג כך:
[ ket{psi} = frac{1}{sqrt{2}} (ket{00} + e^{iphi} ket{11}) ]כאן, ( e^{iphi} ) הוא גורם פאזה מורכב, המדגים שהשלב היחסי בין מרכיבי המצב המסובך חשוב לתיאור תכונות ההסתבכות.
במחשוב קוונטי, השימוש באמפליטודות מורכבות הוא הכרחי ליישום אלגוריתמים קוונטיים. לדוגמה, האלגוריתם של שור לפירוק מספרים שלמים גדולים והאלגוריתם של גרובר לחיפוש לא מובנה שניהם מסתמכים על הפרעה של אמפליטודות מורכבות כדי להשיג את המהירות האקספוננציאלית שלהם על פני אלגוריתמים קלאסיים.
הנחיצות של אמפליטודות מורכבות ניכרת גם בהקשר של תיקון שגיאות קוונטי. קודים לתיקון שגיאות קוונטיים, כגון קוד Shor או קוד Steane, מקודדים קיוביטים לוגיים למצבים מסובכים של קיוביטים פיזיים מרובים. המשרעות המורכבות בקודים אלו מבטיחות שניתן לזהות ולתקן שגיאות מבלי למוטט את המידע הקוונטי.
המשרעת של מצב קוונטי לא חייבת להיות מספר ממשי. האופי המורכב של משרעות קוונטיות הוא היבט בסיסי של מכניקת הקוונטים, המאפשר תיאור של סופרפוזיציה, הפרעות והסתבכות. השימוש במספרים מרוכבים חיוני לעקביות המתמטית של תורת הקוונטים וליישום מעשי של משימות עיבוד מידע קוונטי.
שאלות ותשובות אחרונות אחרות בנושא יסודות המידע הקוונטי של EITC/QI/QIF:
- כיצד פועל שער השלילה הקוונטי (קוונטי NOT או שער פאולי-X)?
- מדוע שער המרד ניתן להפיכה עצמית?
- אם למדוד את הקיוביט הראשון של מצב הפעמון בבסיס מסוים ואז למדוד את הקיוביט השני בבסיס המסובב על ידי תטא זווית מסוימת, ההסתברות שתקבלי השלכה לוקטור המתאים שווה לריבוע הסינוס של תטא?
- כמה פיסות מידע קלאסי יידרשו כדי לתאר את המצב של סופרפוזיציה שרירותית של קיוביט?
- לכמה ממדים יש רווח של 3 קיוביטים?
- האם המדידה של קיוביט תהרוס את הסופרפוזיציה הקוונטית שלו?
- האם לשערים קוונטיים יכולים להיות יותר כניסות מאשר פלטים בדומה לשערים קלאסיים?
- האם המשפחה האוניברסלית של שערים קוונטיים כוללת את שער ה-CNOT ושער הדמרד?
- מהו ניסוי חריץ כפול?
- האם סיבוב מסנן מקטב שווה ערך לשינוי בסיס מדידת קיטוב הפוטונים?
הצג שאלות ותשובות נוספות ב-EITC/QI/QIF Information Quantum Fundamentals
עוד שאלות ותשובות:
- שדה: מידע קוונטי
- תכנית: יסודות המידע הקוונטי של EITC/QI/QIF (ללכת לתוכנית ההסמכה)
- שיעור: תחילת עבודה (עבור לשיעור בנושא)
- נושא: סקירה כללית (עבור לנושא קשור)