האם ניתן להכריע בבעיית העצירה של מכונת טיורינג?
השאלה אם בעיית העצירה של מכונת טיורינג ניתנת להכרעה היא סוגיה בסיסית בתחום מדעי המחשב התיאורטיים, במיוחד בתחומי תיאוריית המורכבות החישובית וההכרעה. בעיית העצירה היא בעיית החלטה שניתן לקבוע באופן בלתי פורמלי באופן הבא: בהינתן תיאור של מכונת טיורינג וקלט, קבע אם מכונת הטיורינג תיעצר בסופו של דבר כאשר היא פועלת עם הקלט הזה, או שהיא תפעל לנצח.
כדי לטפל ביכולת ההכרעה של בעיית העצירה, חיוני להבין את מושג ההכרעה עצמו. אומרים שבעיה ניתנת להכרעה אם קיים אלגוריתם שיכול לספק תשובה נכונה של כן או לא לכל מופע של הבעיה בפרק זמן מוגבל. לעומת זאת, בעיה לא ניתנת להכרעה אם לא קיים אלגוריתם כזה.
בעיית העצירה הוצגה לראשונה והוכחה כבלתי ניתנת להכרעה על ידי אלן טיורינג בשנת 1936. ההוכחה של טיורינג היא דוגמה קלאסית לטיעון אלכסון וכוללת שימוש חכם בהתייחסות עצמית ובסתירה. ניתן לתאר את ההוכחה באופן הבא:
1. הנחת הכרעה: נניח, למען הסתירה, שקיימת מכונת טיורינג (H) שיכולה להכריע בבעיית העצירה. כלומר, (H) לוקח כקלט זוג ((M,w)), כאשר (M) הוא תיאור של מכונת טיורינג ו-(w) הוא מחרוזת קלט, ו-(H(M,w)) מחזירה " כן" אם (M) עוצר ב-(w) ו"לא" אם (M) לא עוצר ב-(w).
2. בניית מכונה פרדוקסלית: באמצעות ( H ), בנה מכונת טיורינג חדשה ( D ) שלוקחת קלט בודד ( M ) (תיאור של מכונת טיורינג) ומתנהגת באופן הבא:
– ( D(M) ) פועל ( H(M, M) ).
– אם ( H(M, M) ) מחזיר "לא", אז ( D(M) ) עוצר.
– אם ( H(M, M) ) מחזיר "כן", אז ( D(M) ) נכנס ללולאה אינסופית.
3. התייחסות עצמית וסתירה: שקול את ההתנהגות של ( D ) כאשר ניתן לו תיאור משלו כקלט. תן (ד) להיות התיאור של (ד). אז יש לנו שני מקרים:
– אם ( ד(ד) ) נעצר, אז לפי ההגדרה של ( ד ), ( ח(ד, ד) ) חייב להחזיר "לא", כלומר (ד(ד) ) לא צריך לעצור - סתירה.
– אם (ד(ד)) לא עוצר, אז לפי ההגדרה של (ד), (ח(ד,ד)) חייב להחזיר "כן", כלומר (ד(ד)) צריך לעצור - שוב, סתירה .
מכיוון ששני המקרים מובילים לסתירה, ההנחה הראשונית ש(H) קיימת חייבת להיות שקרית. לכן, בעיית העצירה אינה ניתנת להכרעה.
ההוכחה הזו מוכיחה שאין אלגוריתם כללי שיכול לפתור את בעיית העצירה עבור כל מכונות הטיורינג והתשומות האפשריות. לחוסר הכרעה של בעיית העצירה יש השלכות עמוקות על גבולות החישוב ועל מה שניתן לקבוע אלגוריתמית. זה מראה שיש מגבלות מובנות למה שניתן לחשב, וכמה בעיות נמצאות מעבר להישג ידו של כל אלגוריתם.
כדי להמחיש עוד יותר את ההשלכות של בעיית העצירה, שקול את הדוגמאות הבאות:
- אימות תוכנית: ייתכן שתרצה לוודא שתוכנית נתונה מסתיימת עבור כל התשומות האפשריות. בשל חוסר ההכרעה של בעיית ההפסקה, לא ניתן ליצור מאמת תוכנית למטרות כלליות שיכול לקבוע, עבור כל תוכנית וקלט אפשריים, אם התוכנית תיעצר.
- ניתוח אבטחה: בתחום אבטחת הסייבר, אולי כדאי לנתח אם תוכנה זדונית תפסיק בסופו של דבר לפעול. חוסר ההחלטה של בעיית העצירה מרמז שאין אלגוריתם כללי שיכול לקבוע אם תוכנה זדונית נתונה תיעצר.
- הוכחות מתמטיות: בעיית העצירה קשורה למשפטי אי השלמות של גדל, הקובעים שבכל מערכת פורמלית חזקה מספיק, ישנן הצהרות אמיתיות שלא ניתן להוכיח בתוך המערכת. חוסר ההכרעה של בעיית העצירה מראה שיש שאלות לגבי התנהגותם של אלגוריתמים שלא ניתן לענות עליהן במסגרת החישוב האלגוריתמי.
חוסר ההכרעה של בעיית העצירה מוביל גם למושג של צמצום בתורת המורכבות החישובית. אומרים שבעיה ( A ) ניתנת לצמצום לבעיה ( B ) אם ניתן להשתמש בפתרון ל ( B ) כדי לפתור ( A ). אם בעיית העצירה הייתה ניתנת להכרעה, אז ניתן היה להכריע בבעיות רבות אחרות שאינן ניתנות להכרעה גם על ידי הפחתה לבעיית העצירה. עם זאת, מכיוון שבעיית העצירה אינה ניתנת להכרעה, כל בעיה שניתן לצמצם לבעיית העצירה אינה ניתנת להכרעה.
בעיית העצירה של מכונת טיורינג אינה ניתנת להכרעה. תוצאה זו היא אבן יסוד במדעי המחשב התיאורטיים ויש לה השלכות מרחיקות לכת על ההבנה שלנו של חישוב, גבולות אלגוריתמיים וטבעה של האמת המתמטית.
שאלות ותשובות אחרונות אחרות בנושא הכרעה:
- האם ניתן להגביל קלטת לגודל הקלט (שווה ערך לכך שראש מכונת הטיורינג מוגבל לנוע מעבר לקלט ה-TM)?
- מה המשמעות של וריאציות שונות של מכונות טיורינג להיות שוות ביכולות המחשוב?
- האם שפה הניתנת לזיהוי טיורינג יכולה להוות תת-קבוצה של שפה הניתנת להכרעה?
- אם יש לנו שני TMs שמתארים שפה ניתנת להכרעה, האם עדיין לא ניתן להכריע בשאלת השוויון?
- במה שונה בעיית הקבלה של אוטומטיות מוגבלות ליניארי מזו של מכונות טיורינג?
- תן דוגמה לבעיה שניתן להחליט על ידי אוטומט מוגבל ליניארי.
- הסבר את המושג ניתנות להכרעה בהקשר של אוטומטיות מוגבלות ליניאריות.
- כיצד משפיע גודל הקלטת באוטומטים עם גבולות ליניאריים על מספר התצורות הנבדלות?
- מה ההבדל העיקרי בין אוטומטיות מוגבלות ליניאריות למכונות טיורינג?
- תאר את התהליך של הפיכת מכונת טיורינג לקבוצת אריחים עבור ה-PCP, וכיצד אריחים אלו מייצגים את היסטוריית החישוב.
צפו בשאלות ותשובות נוספות ב-Decidability