אם יש לנו שני TMs שמתארים שפה ניתנת להכרעה, האם עדיין לא ניתן להכריע בשאלת השוויון?
בתחום תורת המורכבות החישובית, מושג ההכרעה ממלא תפקיד מהותי. אומרים ששפה ניתנת להכרעה אם קיימת מכונת טיורינג (TM) שיכולה לקבוע, עבור כל קלט נתון, אם היא שייכת לשפה או לא. יכולת ההכרעה של שפה היא תכונה חשובה, שכן היא מאפשרת לנו לנמק את השפה ותכונותיה באופן אלגוריתמי.
שאלת השוויון עבור מכונות טיורינג עוסקת בקביעה האם שני TMs נתונים מזהים את אותה שפה. באופן פורמלי, בהינתן שני TMs M1 ו-M2, שאלת השקילות שואלת האם L(M1) = L(M2), כאשר L(M) מייצגת את השפה המוכרת על ידי TM M.
הבעיה הכללית של קביעת השקילות של שני TMs ידועה כבלתי ניתנת להכרעה. המשמעות היא שאין אלגוריתם שתמיד יכול להחליט אם שני TMs שרירותיים מזהים את אותה שפה או לא. תוצאה זו הוכחה על ידי אלן טיורינג בעבודתו המכוננת על יכולת חישוב.
עם זאת, חשוב לציין שתוצאה זו מתקיימת במקרה הכללי של TMs שרירותיים. במקרה הספציפי שבו שני ה-TMs מתארים שפות שניתנות להכרעה, שאלת השוויון הופכת לניתנת להכרעה. הסיבה לכך היא שפות הניתנות להכרעה הן אלו שקיים עבורן TM שיכול להחליט על חברות בשפה. לכן, אם שני TMs מתארים שפות ניתנות להכרעה, נוכל לבנות TM חדש שקובע את השקילותן.
כדי להמחיש זאת, הבה נבחן דוגמה. נניח שיש לנו שני TMs M1 ו-M2 שמתארים שפות שניתן להחליט. אנו יכולים לבנות TM M חדש שקובע את השקילותם באופן הבא:
1. בהינתן קלט x, הדמה את M1 על x ו-M2 על x בו זמנית.
2. אם M1 מקבל את x ו-M2 מקבל את x, אז קבל.
3. אם M1 דוחה את x ו-M2 דוחה את x, אז קבל.
4. אחרת, דחו.
לפי בנייה, ה-TM M יקבל קלט x אם ורק אם הן M1 והן M2 יקבלו את x, או שגם M1 והן M2 ידחו את x. משמעות הדבר היא ש-M מחליט על השקילות של M1 ו-M2 עבור כל קלט x נתון.
בעוד שהבעיה הכללית של קביעת השקילות של שני TMs שרירותיים אינה ניתנת להכרעה, אם ה-TMs מתארים שפות ניתנות להכרעה, שאלת השקילות הופכת לניתנת להכרעה. הסיבה לכך היא שפות שניתן להכריע בהן ניתן להכריע על ידי TM, מה שמאפשר לנו לבנות TM שקובע את השקילותן. יכולת ההכרעה של שאלת השקילות עבור TMs המתארים שפות הניתנות להכרעה מספקת תובנות חשובות לגבי המורכבות החישובית של שפות אלו.
שאלות ותשובות אחרונות אחרות בנושא הכרעה:
- האם ניתן להגביל קלטת לגודל הקלט (שווה ערך לכך שראש מכונת הטיורינג מוגבל לנוע מעבר לקלט ה-TM)?
- מה המשמעות של וריאציות שונות של מכונות טיורינג להיות שוות ביכולות המחשוב?
- האם שפה הניתנת לזיהוי טיורינג יכולה להוות תת-קבוצה של שפה הניתנת להכרעה?
- האם ניתן להכריע בבעיית העצירה של מכונת טיורינג?
- במה שונה בעיית הקבלה של אוטומטיות מוגבלות ליניארי מזו של מכונות טיורינג?
- תן דוגמה לבעיה שניתן להחליט על ידי אוטומט מוגבל ליניארי.
- הסבר את המושג ניתנות להכרעה בהקשר של אוטומטיות מוגבלות ליניאריות.
- כיצד משפיע גודל הקלטת באוטומטים עם גבולות ליניאריים על מספר התצורות הנבדלות?
- מה ההבדל העיקרי בין אוטומטיות מוגבלות ליניאריות למכונות טיורינג?
- תאר את התהליך של הפיכת מכונת טיורינג לקבוצת אריחים עבור ה-PCP, וכיצד אריחים אלו מייצגים את היסטוריית החישוב.
צפו בשאלות ותשובות נוספות ב-Decidability