הסבירו את ההוכחה לחוסר הכרעה לבעיית השפה הריקה באמצעות טכניקת הצמצום.
ההוכחה לחוסר הכרעה לבעיית השפה הריקה באמצעות טכניקת ההפחתה היא מושג בסיסי בתורת המורכבות החישובית. ההוכחה הזו מוכיחה שאי אפשר לקבוע אם מכונת טיורינג (TM) מקבלת מיתר כלשהו או לא. בהסבר זה, נשקול את הפרטים של הוכחה זו, תוך מתן הבנה מקיפה של הנושא.
כדי להתחיל, הבה נגדיר את בעיית השפה הריקה. בהינתן TM M, בעיית השפה הריקה שואלת האם השפה המקובלת על M היא ריקה, כלומר אין מחרוזות ש-M מקבלת. במילים אחרות, אנו רוצים לקבוע אם קיימת לפחות מחרוזת אחת ש-M מקבלת.
כדי להוכיח את חוסר ההכרעה של בעיה זו, אנו משתמשים בטכניקת ההפחתה. צמצום הוא כלי רב עוצמה בתורת המורכבות החישובית, המאפשר לנו להראות את חוסר ההכרעה של בעיה אחת על ידי הקטנתה לבעיה ידועה שאינה ניתנת להכרעה.
במקרה זה, אנו מצמצמים את בעיית העצירה לבעיית השפה הריקה. בעיית העצירה היא דוגמה קלאסית לבעיה בלתי ניתנת להכרעה, ששואלת האם TM נתון נעצר בקלט נתון. אנו מניחים שבעיית העצירה אינה ניתנת להכרעה ומשתמשים בהנחה זו כדי להוכיח את חוסר ההכרעה של בעיית השפה הריקה.
ההפחתה מתנהלת כך:
1. בהינתן קלט (M, w) עבור בעיית העצירה, בנה TM M' חדש באופן הבא:
– M' מתעלם מהקלט שלו ומדמה את M על w.
– אם M נעצר ב-w, M' נכנס ללולאה אינסופית ומקבל.
– אם מ' לא עוצר על w, מ' עוצר ודוחה.
2. כעת, אנו טוענים כי (M, w) הוא מופע חיובי של בעיית העצירה אם ורק אם השפה המקובלת על M' היא ריקה.
– אם (M, w) הוא מופע חיובי של בעיית העצירה, זה אומר ש-M עוצרת ב-w. במקרה זה, M' נכנס ללולאה אינסופית ואינו מקבל מחרוזות. לכן, השפה המקובלת על מ' ריקה.
– לעומת זאת, אם השפה המקובלת על M' היא ריקה, זה מרמז ש-M' אינו מקבל מחרוזות. זה יכול לקרות רק אם M לא עוצר על w, שכן אחרת, M' יכנס ללולאה אינסופית ולא יקבל מחרוזות. לפיכך, (M, w) הוא דוגמה חיובית לבעיית העצירה.
לכן, הצלחנו לצמצם את בעיית העצירה הבלתי ניתנת להכרעה לבעיית השפה הריקה. מכיוון שידוע שבעיית העצירה אינה ניתנת להכרעה, צמצום זה מבסס את אי הכרעה של בעיית השפה הריקה גם כן.
ההוכחה לחוסר הכרעה לבעיית השפה הריקה באמצעות טכניקת הרדוקציה מוכיחה שאי אפשר לקבוע אם TM מקבל מחרוזת כלשהי או לא. הוכחה זו מסתמכת על הצמצום מבעיית הבלימה לבעיית השפה הריקה, המציגה את כוחו של הצמצום בביסוס חוסר הכרעה.
שאלות ותשובות אחרונות אחרות בנושא הכרעה:
- האם ניתן להגביל קלטת לגודל הקלט (שווה ערך לכך שראש מכונת הטיורינג מוגבל לנוע מעבר לקלט ה-TM)?
- מה המשמעות של וריאציות שונות של מכונות טיורינג להיות שוות ביכולות המחשוב?
- האם שפה הניתנת לזיהוי טיורינג יכולה להוות תת-קבוצה של שפה הניתנת להכרעה?
- האם ניתן להכריע בבעיית העצירה של מכונת טיורינג?
- אם יש לנו שני TMs שמתארים שפה ניתנת להכרעה, האם עדיין לא ניתן להכריע בשאלת השוויון?
- במה שונה בעיית הקבלה של אוטומטיות מוגבלות ליניארי מזו של מכונות טיורינג?
- תן דוגמה לבעיה שניתן להחליט על ידי אוטומט מוגבל ליניארי.
- הסבר את המושג ניתנות להכרעה בהקשר של אוטומטיות מוגבלות ליניאריות.
- כיצד משפיע גודל הקלטת באוטומטים עם גבולות ליניאריים על מספר התצורות הנבדלות?
- מה ההבדל העיקרי בין אוטומטיות מוגבלות ליניאריות למכונות טיורינג?
צפו בשאלות ותשובות נוספות ב-Decidability