הסבר את הקשר בין פונקציה ניתנת לחישוב לבין קיומה של מכונת טיורינג שיכולה לחשב אותה.
בתחום תיאוריית המורכבות החישובית, יש חשיבות מהותית לקשר בין פונקציה ניתנת לחישוב לבין קיומה של מכונת טיורינג שיכולה לחשב אותה. כדי להבין את הקשר הזה, עלינו להגדיר תחילה מהי פונקציה ניתנת לחישוב וכיצד היא קשורה למכונות טיורינג.
פונקציה ניתנת לחישוב, הידועה גם כפונקציה רקורסיבית, היא פונקציה מתמטית שניתן לחשב באמצעות אלגוריתם. זוהי פונקציה שעבורה קיימת מכונת טיורינג שבהינתן כל קלט, תעצור ותייצר את הפלט הנכון עבור הקלט הזה. במילים אחרות, פונקציה ניתנת לחישוב היא כזו שניתן לחשב ביעילות על ידי מכונת טיורינג.
מכונות טיורינג, לעומת זאת, הן מכשירי מחשוב תיאורטיים שהוצגו על ידי אלן טיורינג בשנת 1936. הן מורכבות מסרט אינסופי המחולק לתאים, ראש קריאה/כתיבה שיכול לנוע לאורך הקלטת ומערכת של מצבים השולטים. התנהגות המכונה. המכונה קוראת את הסמלים על הקלטת, מבצעת פעולות מסוימות על סמך מצבה הנוכחי והסמל שהיא קוראת, ועוברת למצב חדש. תהליך זה נמשך עד שהמכונה מגיעה למצב עצירה.
הקשר בין פונקציה ניתנת לחישוב לבין קיומה של מכונת טיורינג שיכולה לחשב אותה מבוסס על הרעיון של שלמות טיורינג. אומרים שמכונת טיורינג היא שלמה של טיורינג אם היא יכולה לדמות כל מכונת טיורינג אחרת. במילים אחרות, מכונה שלמה של טיורינג יכולה לחשב כל פונקציה שניתן לחשב על ידי כל מכונת טיורינג אחרת.
בהינתן הגדרה זו, אנו יכולים לומר שאם פונקציה ניתנת לחישוב, אז קיימת מכונת טיורינג שיכולה לחשב אותה. לעומת זאת, אם מכונת טיורינג יכולה לחשב פונקציה, אז הפונקציה הזו ניתנת לחישוב. הקשר הזה מבוסס על העובדה שמכונות טיורינג הן התקני מחשוב אוניברסליים המסוגלים לדמות כל מכונת טיורינג אחרת.
כדי להמחיש את הקשר הזה, הבה נשקול דוגמה. נניח שיש לנו פונקציה ניתנת לחישוב שמוסיפה שני מספרים. אנחנו יכולים להגדיר מכונת טיורינג שלוקחת שתי כניסות, מזיזה את ראש הקריאה/כתיבה למספר הראשון בקלטת, מוסיפה לו את המספר השני ומוציאה את התוצאה. מכונת טיורינג זו יכולה לחשב את פונקציית התוספת, להדגים את הקשר בין פונקציה ניתנת לחישוב לבין קיומה של מכונת טיורינג שיכולה לחשב אותה.
הקשר בין פונקציה ניתנת לחישוב לבין קיומה של מכונת טיורינג שיכולה לחשב אותה מבוסס על הרעיון של שלמות טיורינג. פונקציה ניתנת לחישוב היא פונקציה שניתן לחשב ביעילות על ידי מכונת טיורינג, ומכונת טיורינג היא שלמה של טיורינג אם היא יכולה לדמות כל מכונת טיורינג אחרת. לכן, אם פונקציה ניתנת לחישוב, קיימת מכונת טיורינג שיכולה לחשב אותה, ולהיפך.
שאלות ותשובות אחרונות אחרות בנושא פונקציות מחושבות:
- מה המשמעות של וריאציות שונות של מכונות טיורינג להיות שוות ביכולות המחשוב?
- מה המשמעות של מכונת טיורינג שעוצרת תמיד בעת חישוב פונקציה ניתנת לחישוב?
- האם ניתן לשנות מכונת טיורינג כך שתמיד תקבל פונקציה? הסבר למה או למה לא.
- כיצד מחשבת מכונת טיורינג פונקציה ומה תפקידן של קלטות הקלט והפלט?
- מהי פונקציה ניתנת לחישוב בהקשר של תורת המורכבות החישובית וכיצד היא מוגדרת?