האם בעיה יכולה להיות במחלקת מורכבות NP אם יש מכונת טיורינג לא דטרמיניסטית שתפתור אותה בזמן פולינומי
השאלה "האם בעיה יכולה להיות במחלקת מורכבות NP אם יש מכונת טיורינג לא דטרמיניסטית שתפתור אותה בזמן פולינומי?" נוגע במושגי יסוד בתורת המורכבות החישובית. כדי להתייחס לשאלה זו באופן מקיף, עלינו לשקול את ההגדרות והמאפיינים של מחלקת המורכבות NP ואת התפקיד של מכונות טיורינג לא דטרמיניסטיות (NDTMs).
הגדרה של NP
המחלקה NP (זמן פולינום לא דטרמיניסטי) מורכבת מבעיות החלטה שעבורן ניתן לאמת פתרון נתון כנכון או לא נכון בזמן פולינומי על ידי מכונת טיורינג דטרמיניסטית (DTM). באופן פורמלי, בעיית החלטה היא ב-NP אם קיים אלגוריתם אימות פולינומיאלי שיכול לאמת את נכונות תעודה (או עד) נתון עבור מופע של הבעיה.
מכונות טיורינג לא דטרמיניסטיות
מכונת טיורינג לא דטרמיניסטית היא מודל חישוב תיאורטי המרחיב את היכולות של מכונת טיורינג דטרמיניסטית. בניגוד ל-DTM, העוקב אחר נתיב חישובי יחיד המוגדר על ידי פונקציית המעבר שלו, NDTM יכול להמשיך במספר נתיבים חישוביים בו-זמנית. בכל שלב, NDTM יכול "לבחור" מתוך סט של מעברים אפשריים, ולחקור למעשה חישובים אפשריים רבים במקביל.
פתרון פולינום-זמן על ידי NDTMs
אומרים כי בעיה ניתנת לפתרון על ידי NDTM בזמן פולינום אם קיים אלגוריתם לא דטרמיניסטי שיכול למצוא פתרון לבעיה בתוך מספר שלבים שהוא פולינומי בגודל הקלט. המשמעות היא שלכל מקרה של בעיה, ה-NDTM יכול לחקור נתיב חישובי המוביל לפתרון בזמן פולינומי.
קשר בין NP ו-NDTMs
ניתן להגדיר את המחלקה NP באופן שווה במונחים של NDTMs. באופן ספציפי, בעיית החלטה נמצאת ב-NP אם ורק אם קיים NDTM שיכול לפתור את הבעיה בזמן פולינומי. שוויון זה נובע מהעובדה ש-NDTM יכול לנחש תעודה בצורה לא דטרמיניסטית ואז לאמת אותה באופן דטרמיניסטי בזמן פולינומי.
כדי להמחיש זאת באמצעות דוגמה, שקול את הבעיה הידועה של NP-complete, בעיית שביעות הרצון הבוליאנית (SAT). בהינתן נוסחה בוליאנית בצורת חיבור נורמלית (CNF), המשימה היא לקבוע אם קיימת הקצאה של ערכי אמת למשתנים שהופכת את הנוסחה לאמיתה. NDTM יכול לפתור SAT בזמן פולינומי על ידי ניחוש לא דטרמיניסטי של הקצאה של ערכי אמת ולאחר מכן בדיקה דטרמיניסטית אם ההקצאה עומדת בנוסחה. שלב האימות, הכולל הערכת הנוסחה תחת ההקצאה המנחשת, יכול להיעשות בזמן פולינומי.
השלכות של פתרון זמן פולינומי על ידי NDTMs
בהינתן ההגדרות שלעיל והשקילות בין NP לפתרון זמן פולינומי על ידי NDTMs, אנו יכולים להסיק שאם קיים NDTM שפותר בעיה בזמן פולינומי, אז הבעיה היא אכן ב-NP. הסיבה לכך היא שקיומה של NDTM כזה מרמז על כך שקיים אלגוריתם אימות פולינום-זמן לבעיה. שלב הניחוש הלא דטרמיניסטי של ה-NDTM מתאים להפקת תעודה, ושלב האימות הדטרמיניסטי מתאים לאלגוריתם האימות של זמן פולינום.
שיקולים נוספים ודוגמאות
כדי להבהיר עוד יותר מושג זה, הבה נבחן דוגמאות נוספות לבעיות ב-NP והקשר שלהן עם NDTMs:
1. בעיה בנתיב המילטון: בהינתן גרף, בעיית הנתיב המילטון שואלת האם קיים נתיב שמבקר בכל קודקוד בדיוק פעם אחת. NDTM יכול לפתור בעיה זו בזמן פולינומי על ידי ניחוש לא דטרמיניסטי של רצף של קודקודים ולאחר מכן אימות אם הרצף יוצר נתיב המילטון חוקי. שלב האימות כולל בדיקת סמיכות קודקודים עוקבים והבטחה שכל קודקוד מבקר פעם אחת בדיוק, ואת שניהם ניתן לבצע בזמן פולינומי.
2. בעיית סכום משנה: בהינתן קבוצה של מספרים שלמים וסכום יעד, בעיית Subset Sum שואלת האם קיימת תת-קבוצה של המספרים השלמים המסכמת את היעד. NDTM יכול לפתור בעיה זו בזמן פולינומי על ידי ניחוש לא דטרמיניסטי של תת-קבוצה של המספרים השלמים ולאחר מכן אימות אם סכום המשנה שווה למטרה. שלב האימות כולל סיכום האלמנטים של תת-הקבוצה המנחשת, שניתן לעשות בזמן פולינומי.
3. בעיית צביעת גרפים: בהינתן גרף ומספר צבעים, בעיית צביעת הגרפים שואלת האם ניתן לצבוע את קודקודי הגרף כך שאף שני קודקודים סמוכים חולקים את אותו הצבע. NDTM יכול לפתור בעיה זו בזמן פולינום על ידי הקצאת צבעים לא דטרמיניסטית לקודקודים ולאחר מכן אימות אם הצביעה תקפה. שלב האימות כולל בדיקת הצבעים של קודקודים סמוכים, שניתן לעשות בזמן פולינומי.
סיכום
לאור ההגדרות והדוגמאות שסופקו, ברור שבעיה אכן יכולה להיות במחלקת המורכבות NP אם קיימת מכונת טיורינג לא דטרמיניסטית שתפתור אותה בזמן פולינומי. קשר זה הוא אבן יסוד בתיאוריית המורכבות החישובית ומדגיש את השוויון בין יכולת פתירות בזמן פולינומית על ידי NDTMs לבין חברות במחלקת NP.
שאלות ותשובות אחרונות אחרות בנושא מוּרכָּבוּת:
- האם מחלקה PSPACE לא שווה למחלקה EXPSPACE?
- האם מחלקת המורכבות P היא תת-קבוצה של מחלקת PSPACE?
- האם נוכל להוכיח שמחלקות Np ו-P זהות על ידי מציאת פתרון פולינום יעיל לכל בעיה שלמה של NP ב-TM דטרמיניסטי?
- האם מחלקת NP יכולה להיות שווה למחלקה EXPTIME?
- האם יש בעיות ב-PSPACE שעבורן אין אלגוריתם NP ידוע?
- האם בעיית SAT יכולה להיות בעיה שלמה של NP?
- NP היא מחלקה של שפות שיש להן מאמת זמן פולינומי
- האם P ו-NP הם בעצם אותה דרגת מורכבות?
- האם כל הקשר הוא שפה חופשית בשיעור המורכבות P?
- האם יש סתירה בין ההגדרה של NP כמחלקה של בעיות החלטה עם מאמת זמן פולינום לבין העובדה שלבעיות במחלקה P יש גם מאמת זמן פולינומי?
צפו בשאלות ותשובות נוספות ב-Complexity