האם כל הקשר הוא שפה חופשית בשיעור המורכבות P?
השאלה האם כל שפה נטולת הקשר (CFL) שוכנת בתוך מחלקת המורכבות P היא נושא מרתק בתוך תורת המורכבות החישובית. כדי להתייחס לשאלה זו באופן מקיף, חיוני לשקול את ההגדרות של שפות נטולות הקשר, מחלקת המורכבות P והקשר בין מושגים אלה.
שפה ללא הקשר היא סוג של שפה פורמלית שניתן ליצור על ידי דקדוק ללא הקשר (CFG). CFG הוא קבוצה של כללי ייצור המתארים את כל המחרוזות האפשריות בשפה רשמית נתונה. כל כלל ב-CFG מחליף סמל אחד שאינו מסוף במחרוזת של סמלים שאינם מסוף ומסוף. שפות נטולות הקשר הן משמעותיות במדעי המחשב מכיוון שהן יכולות לתאר את התחביר של רוב שפות התכנות והן מזוהות על ידי אוטומטים של דחיפה.
מחלקת המורכבות P מורכבת מבעיות החלטה שניתן לפתור על ידי מכונת טיורינג דטרמיניסטית בזמן פולינום. זמן פולינומי, מסומן כ-O(n^k) כאשר n הוא גודל הקלט ו-k הוא קבוע, מייצג גבול עליון למורכבות הזמן של האלגוריתם. בעיות ב-P נחשבות לפתירות ביעילות מכיוון שהזמן הדרוש לפתור אותן גדל בקצב שניתן לניהול ככל שגודל הקלט גדל.
כדי לקבוע אם כל שפה נטולת הקשר נמצאת ב-P, עלינו לבחון את המשאבים החישוביים הנדרשים כדי להחליט על חברות בשפה נטולת הקשר. בעיית ההחלטה עבור שפה נטולת הקשר מוגדרת בדרך כלל כדלקמן: בהינתן מחרוזת w ודקדוק ללא הקשר G, קבע אם ניתן ליצור w על ידי G.
האלגוריתם הסטנדרטי להחלטת חברות בשפה נטולת הקשר הוא אלגוריתם CYK (Cocke-Younger-Kasami), שהוא אלגוריתם תכנות דינמי. אלגוריתם CYK פועל בזמן O(n^3), כאשר n הוא אורך מחרוזת הקלט. מורכבות הזמן המעוקב הזו מתעוררת בגלל שהאלגוריתם בונה טבלת ניתוח שיש לה ממדים פרופורציונליים לאורך מחרוזת הקלט ולמספר הסמלים הלא-טרמינליים בדקדוק.
בהתחשב בכך שאלגוריתם CYK פועל בזמן פולינום, מכאן נובע שניתן לפתור את בעיית החברות לשפות ללא הקשר בזמן פולינומי. כתוצאה מכך, שפות נטולות הקשר אכן נמצאות במחלקת המורכבות P. תוצאה זו משמעותית מכיוון שהיא קובעת שעדיין ניתן להחליט ביעילות על שפות נטולות הקשר, שהן אקספרסיביות יותר משפות רגילות.
כדי להמחיש זאת, שקול את השפה נטולת הקשר L = {a^nb^n | n ≥ 0}, המורכב ממחרוזות עם מספר שווה של 'a' ואחריו מספר שווה של 'b'. ניתן להגדיר דקדוק ללא הקשר עבור שפה זו באופן הבא:
S → aSb | ε
כאן, S הוא סמל ההתחלה, ו-ε מייצג את המחרוזת הריקה. ניתן להשתמש באלגוריתם CYK כדי לקבוע אם מחרוזת w נתונה שייכת ל-L. לדוגמה, בהינתן המחרוזת w = "aaabbb", אלגוריתם CYK יבנה טבלת ניתוח כדי לוודא שניתן ליצור w על ידי הדקדוק.
בנוסף, ראוי לציין שניתן להחליט על כמה שפות נטולות הקשר ביעילות רבה יותר ממורכבות הזמן הכללית של O(n^3) של אלגוריתם CYK. לדוגמה, שפות דטרמיניסטיות נטולות הקשר, שהן תת-קבוצה של שפות נטולות הקשר המוכרות על ידי אוטומטים דטרמיניסטיים של דחיפה, ניתנות לרוב להכרעה בזמן O(n). מורכבות זמן ליניארית זו מתעוררת מכיוון שלאוטומטי דחיפה דטרמיניסטיים יש מודל חישובי מוגבל יותר, המאפשר אלגוריתמי ניתוח יעילים יותר כגון מנתחי LR(k) או LL(k) המשמשים בתכנון מהדר.
ניתן לפתור את בעיית החברות עבור שפות חסרות הקשר בזמן פולינום באמצעות אלגוריתמים כגון אלגוריתם CYK, הצבת שפות ללא הקשר בתוך מחלקת המורכבות P. תוצאה זו מדגישה את היעילות שבה ניתן לעבד שפות ללא הקשר, מה שהופך אותן מתאים ליישומים בניתוח תחביר של שפת תכנות ותחומים אחרים בהם נדרש זיהוי שפה פורמלי.
שאלות ותשובות אחרונות אחרות בנושא מוּרכָּבוּת:
- האם מחלקה PSPACE לא שווה למחלקה EXPSPACE?
- האם מחלקת המורכבות P היא תת-קבוצה של מחלקת PSPACE?
- האם נוכל להוכיח שמחלקות Np ו-P זהות על ידי מציאת פתרון פולינום יעיל לכל בעיה שלמה של NP ב-TM דטרמיניסטי?
- האם מחלקת NP יכולה להיות שווה למחלקה EXPTIME?
- האם יש בעיות ב-PSPACE שעבורן אין אלגוריתם NP ידוע?
- האם בעיית SAT יכולה להיות בעיה שלמה של NP?
- האם בעיה יכולה להיות במחלקת מורכבות NP אם יש מכונת טיורינג לא דטרמיניסטית שתפתור אותה בזמן פולינומי
- NP היא מחלקה של שפות שיש להן מאמת זמן פולינומי
- האם P ו-NP הם בעצם אותה דרגת מורכבות?
- האם יש סתירה בין ההגדרה של NP כמחלקה של בעיות החלטה עם מאמת זמן פולינום לבין העובדה שלבעיות במחלקה P יש גם מאמת זמן פולינומי?
צפו בשאלות ותשובות נוספות ב-Complexity