השאלה האם המחלקות P ו-NP שוות ערך היא אחת הבעיות הפתוחות המשמעותיות וארוכות השנים בתחום תורת המורכבות החישובית. כדי להתייחס לשאלה זו, חיוני להבין את ההגדרות והמאפיינים של מחלקות אלו, כמו גם את ההשלכות של מציאת פתרון יעיל בזמן פולינומי עבור כל בעיה שלמה NP במכונת טיורינג דטרמיניסטית (TM).
הגדרות ורקע
P (זמן פולינומי): המחלקה P מורכבת מבעיות החלטה (בעיות עם תשובה כן/לא) שניתן לפתור על ידי מכונת טיורינג דטרמיניסטית בזמן פולינומי. במילים אחרות, בעיה נמצאת ב-P אם קיים אלגוריתם שיכול לפתור כל מופע של הבעיה בזמן שמוגבל על ידי פונקציה פולינומית בגודל הקלט.
NP (זמן פולינומי לא דטרמיניסטי): המחלקה NP מורכבת מבעיות החלטה שעבורן ניתן לאמת פתרון נתון בזמן פולינומי על ידי מכונת טיורינג דטרמיניסטית. לחלופין, ניתן לתאר את NP כמחלקת הבעיות שניתן לפתור על ידי מכונת טיורינג לא דטרמיניסטית בזמן פולינומי. מכונת טיורינג לא דטרמיניסטית היא מודל תיאורטי שיכול לעשות "ניחושים" ולחקור מספר נתיבים חישוביים בו זמנית.
בעיות NP-Complete: בעיה היא NP-complete אם היא עומדת בשני תנאים:
1. זה ב-NP.
2. ניתן לצמצם כל בעיה ב-NP אליה באמצעות הפחתת זמן פולינום. המשמעות היא שאם יש לנו אלגוריתם זמן פולינומי לפתרון בעיה שלמה NP, נוכל להשתמש בו כדי לפתור כל בעיה ב-NP בזמן פולינום.
השאלה P נגד NP
השאלה P לעומת NP שואלת האם ניתן לפתור כל בעיה ב-NP בזמן פולינומי על ידי מכונת טיורינג דטרמיניסטית, כלומר האם P = NP. אם P = NP, זה אומר שכל בעיה שניתן לאמת לה פתרון במהירות (בזמן פולינומי) יכולה להיפתר במהירות (בזמן פולינומי).
הוכחת P = NP על ידי פתרון בעיה NP-Complete
אם נוכל למצוא פתרון יעיל בזמן פולינום עבור כל בעיה מלאה ב-NP במכונת טיורינג דטרמיניסטית, נוכל להוכיח ש-P = NP. זה נובע מהטבע של בעיות שלמות NP: אם ניתן לפתור בעיה אחת של NP בזמן פולינום, אז כל בעיה ב-NP יכולה לעבור טרנספורמציה (להקטין) לבעיה זו בזמן פולינום, וכך גם ניתן לפתור אותה ב-NP זמן פולינומי.
דוגמה: בעיית הסיפוק (SAT)
אחת הבעיות הידועות ביותר של NP-complete היא בעיית סיפוק הבוליאנית (SAT). בעיית SAT שואלת האם קיימת הקצאה של ערכי אמת למשתנים כך שנוסחה בוליאנית נתונה מוערכת כאמת. משפט קוק-לוין קבע ש-SAT הוא NP-שלם, כלומר אם נוכל לפתור את SAT בזמן פולינומי, נוכל לפתור כל בעיה ב-NP בזמן פולינומי.
שלבים להוכחת P = NP
1. זיהוי בעיה של NP-Complete: בחר כל בעיה מוכרת עם NP-complete, כגון SAT, 3-SAT, או בעיית איש מכירות נוסע (TSP).
2. פתח אלגוריתם פולינום-זמן: בנו אלגוריתם שפותר את הבעיה שנבחרה NP-complete בזמן פולינומי במכונת טיורינג דטרמיניסטית.
3. אמת זמן פולינום: ודא שהאלגוריתם פועל בזמן מוגבל על ידי פונקציה פולינומית של גודל הקלט.
4. הפחתת זמן פולינום: הדגימו שכל בעיה ב-NP יכולה להיות מופחתת לבעיה שלמה NP שנבחרה בזמן פולינומי.
השלכות של P = NP
אם יוכח ש-P = NP, ההשלכות יהיו עמוקות עבור תחומים שונים, כולל קריפטוגרפיה, אופטימיזציה ובינה מלאכותית. מערכות קריפטוגרפיות רבות מסתמכות על ההנחה שקשה לפתור בעיות מסוימות (למשל, הפקת מספרים שלמים גדולים) בזמן פולינומי. אם P = NP, הנחות אלו כבר לא יתקיימו, מה שעלול לסכן את האבטחה של פרוטוקולים קריפטוגרפיים.
מצב נוכחי
למרות מחקר מקיף, אף אחד עדיין לא מצא אלגוריתם זמן פולינומי לבעיה שלמה NP כלשהי, ואף אחד לא הוכיח שאלגוריתם כזה לא יכול להתקיים. בעיית P לעומת NP נותרה אחת משבע "בעיות פרס המילניום" שעבורן הציע המכון למתמטיקה קליי פרס של מיליון דולר עבור פתרון נכון.
סיכום
השאלה האם P ו-NP זהים על ידי מציאת פתרון פולינום יעיל לכל בעיה שלמה NP במכונת טיורינג דטרמיניסטית נותרת פתוחה. המורכבות של בעיה זו נעוצה בקושי הפנימי של בעיות שלמות NP ובאתגר לפתח עבורן אלגוריתמים של זמן פולינומי. לפתרון שאלה זו יהיו השלכות מרחיקות לכת על פני תחומים רבים של מדעי המחשב ומעבר לכך.
שאלות ותשובות אחרונות אחרות בנושא מוּרכָּבוּת:
- האם מחלקה PSPACE לא שווה למחלקה EXPSPACE?
- האם מחלקת המורכבות P היא תת-קבוצה של מחלקת PSPACE?
- האם מחלקת NP יכולה להיות שווה למחלקה EXPTIME?
- האם יש בעיות ב-PSPACE שעבורן אין אלגוריתם NP ידוע?
- האם בעיית SAT יכולה להיות בעיה שלמה של NP?
- האם בעיה יכולה להיות במחלקת מורכבות NP אם יש מכונת טיורינג לא דטרמיניסטית שתפתור אותה בזמן פולינומי
- NP היא מחלקה של שפות שיש להן מאמת זמן פולינומי
- האם P ו-NP הם בעצם אותה דרגת מורכבות?
- האם כל הקשר הוא שפה חופשית בשיעור המורכבות P?
- האם יש סתירה בין ההגדרה של NP כמחלקה של בעיות החלטה עם מאמת זמן פולינום לבין העובדה שלבעיות במחלקה P יש גם מאמת זמן פולינומי?
צפו בשאלות ותשובות נוספות ב-Complexity