האם יש בעיות ב-PSPACE שעבורן אין אלגוריתם NP ידוע?
בתחום תיאוריית המורכבות החישובית, במיוחד כאשר בוחנים מחלקות מורכבות החלל, הקשר בין PSPACE ל-NP הוא בעל עניין משמעותי. כדי להתייחס ישירות לשאלה: כן, יש בעיות ב-PSPACE שעבורן אין אלגוריתם NP ידוע. קביעה זו מעוגנת בהגדרות וביחסים בין מחלקות מורכבות אלו.
PSPACE הוא מחלקה של בעיות החלטה שניתן לפתור על ידי מכונת טיורינג באמצעות כמות פולינומית של שטח. במילים אחרות, בעיה היא ב-PSPACE אם קיים אלגוריתם שיכול לפתור אותה באמצעות כמות זיכרון שהיא פולינומית בגודל הקלט. מחלקה זו כוללת מגוון רחב של בעיות, חלקן מורכבות למדי וכוללות תהליכי חישוב מורכבים.
NP, לעומת זאת, היא מחלקה של בעיות החלטה שעבורן ניתן לאמת פתרון מוצע בזמן פולינומי על ידי מכונת טיורינג דטרמיניסטית. זה אומר שאם מישהו מספק לך פתרון מועמד לבעיה ב-NP, אתה יכול לבדוק את נכונות הפתרון הזה במהירות, במיוחד בזמן פולינומי ביחס לגודל הקלט.
הקשר בין שתי המחלקות הללו הוא כזה ש-NP הוא תת-קבוצה של PSPACE. הסיבה לכך היא שכל בעיה שניתן לאמת בזמן פולינום יכולה להיפתר גם במרחב פולינומי. כדי להבין מדוע, קחו בחשבון שמאמת זמן פולינום יכול לקרוא רק מספר פולינומי של סיביות של הקלט והפתרון המוצע. לכן, ניתן לדמות אותו על ידי מכונת פולינום-מרחב שעוקבת אחר המיקומים שהיא קראה והפעולות שהיא ביצעה.
עם זאת, ההפך אינו ידוע כנכון; כלומר, לא ידוע אם PSPACE הוא תת-קבוצה של NP. למעשה, הדעה הרווחת היא כי PSPACE מכיל בעיות שאינן ב-NP, אם כי זה לא הוכח רשמית. אמונה זו מבוססת על קיומן של בעיות ב-PSPACE שנראה כי דורשות יותר מזמן פולינומי כדי לפתור אותן, למרות שניתן לפתור אותן באמצעות מרחב פולינומי.
אחת הדוגמאות הקנוניות לבעיה ב-PSPACE שלא ידוע שהיא ב-NP היא בעיית הנוסחה הבוליאנית הכמותית (QBF). QBF היא הכללה של בעיית הסיפוק הבוליאנית (SAT), שהיא NP-שלמה. בעוד ש-SAT שואל אם קיימת הקצאה של ערכי אמת למשתנים שהופכת נוסחה בוליאנית נתונה לאמיתה, QBF כוללת מכמים מקוננים מעל המשתנים, כגון "עבור כל x, קיים כזה שהנוסחה נכונה". הנוכחות של מכמתים אלה הופכת את QBF למורכבת משמעותית. QBF הוא PSPACE שלם, כלומר הוא קשה כמו כל בעיה ב- PSPACE. אם היה אלגוריתם NP עבור QBF, זה היה רומז ש-NP שווה ל-PSPACE, תוצאה שתהיה פורצת דרך ונחשבת לא סבירה.
דוגמה נוספת להמחשה היא הבעיה של קביעת המנצח במשחקים מוכללים, כגון גרסאות כלליות של שח או Go, ששיחקו על לוח N x N. בעיות אלו כוללות מספר אקספוננציאלי פוטנציאלי של מהלכים ותצורות, אך ניתן להחליט עליהן באמצעות מרחב פולינומי על ידי חקירת כל מצבי המשחק האפשריים באופן שיטתי. בעיות אלו הן גם שלמות PSPACE, מה שמצביע עוד יותר על קיומן של בעיות ב-PSPACE שאינן ב-NP.
כדי להעמיק מדוע מאמינים שבעיות מסוימות ב-PSPACE נמצאות מחוץ ל-NP, שקול את טבעם של חישובים מוגבלים למרחב לעומת זמן. מרחב פולינומי מאפשר מספר אקספוננציאלי פוטנציאלי של שלבים חישוביים, כל עוד המרחב המשמש נשאר מוגבל פולינומיאלית. זה בניגוד מוחלט ל-NP, שם הזמן מוגבל בפולינום. ניתן לנצל את הזמן האקספוננציאלי שמאפשר מרחב פולינום כדי לפתור בעיות הכרוכות בחיפושים ממצים במרחבים גדולים באופן אקספוננציאלי, כמו אלו שנתקלים ב-QBF ובמשחקים מוכללים.
יתר על כן, ישנם מבנים תיאורטיים מורכבים שתומכים עוד יותר בהבחנה בין PSPACE ל-NP. לדוגמה, מושג החלופה, שהוצג על ידי צ'נדרה, קוזן וסטוקמאייר, מכליל אי-דטרמיניזם ומוביל למחלקה AP (זמן פולינום מתחלף). הוכח כי AP שווה ל-PSPACE, ובכך מספק פרספקטיבה שונה על הכוח של חישובי מרחב פולינומיים. החלפה כוללת רצף של כימים קיומיים ואוניברסליים, המשקפים את המבנה של QBF, ומציגה את המורכבות הגלומה בבעיות PSPACE.
ראוי גם לציין שהפרדה בין שיעורי מורכבות היא שאלה פתוחה בסיסית במדעי המחשב התיאורטיים. בעיית P לעומת NP המפורסמת היא מקרה מיוחד של חקירה רחבה יותר זו. באופן דומה, השאלה האם NP שווה ל-PSPACE נותרה בלתי פתורה. עם זאת, הקונצנזוס בשטח, המבוסס על מחקר מקיף ואופי הבעיות הידועות, הוא ש-PSPACE מכיל ככל הנראה בעיות שאינן ב-NP.
קיומן של בעיות ב-PSPACE שעבורן אין אלגוריתם NP ידוע נתמך על ידי ההגדרות והקשרים בין מחלקות המורכבות הללו, כמו גם על ידי דוגמאות קונקרטיות כמו QBF ובעיות משחק כלליות. דוגמאות אלו מדגישות את התהליכים החישוביים המורכבים והעשויים להיות מעריכיים שניתן לנהל בתוך מרחב פולינומי אך לא סביר שיוגבלו לזמן פולינומי, ובכך ממקמים אותם מחוץ לתחום NP.
שאלות ותשובות אחרונות אחרות בנושא מוּרכָּבוּת:
- האם מחלקה PSPACE לא שווה למחלקה EXPSPACE?
- האם מחלקת המורכבות P היא תת-קבוצה של מחלקת PSPACE?
- האם נוכל להוכיח שמחלקות Np ו-P זהות על ידי מציאת פתרון פולינום יעיל לכל בעיה שלמה של NP ב-TM דטרמיניסטי?
- האם מחלקת NP יכולה להיות שווה למחלקה EXPTIME?
- האם בעיית SAT יכולה להיות בעיה שלמה של NP?
- האם בעיה יכולה להיות במחלקת מורכבות NP אם יש מכונת טיורינג לא דטרמיניסטית שתפתור אותה בזמן פולינומי
- NP היא מחלקה של שפות שיש להן מאמת זמן פולינומי
- האם P ו-NP הם בעצם אותה דרגת מורכבות?
- האם כל הקשר הוא שפה חופשית בשיעור המורכבות P?
- האם יש סתירה בין ההגדרה של NP כמחלקה של בעיות החלטה עם מאמת זמן פולינום לבין העובדה שלבעיות במחלקה P יש גם מאמת זמן פולינומי?
צפו בשאלות ותשובות נוספות ב-Complexity